Nel linguaggio matematico, il prodotto scalare è un’operazione binaria interna tra due vettori all’interno di uno spazio euclideo tridimensionale. I vettori sono elementi di uno spazio vettoriale che possono essere sommati fra loro e moltiplicati per dei numeri detti scalari. Il concetto di vettore nasce dall’idea di una grandezza fisica che ha le caratteristiche di intensità, verso e direzione in uno spazio tridimensionale.
Lo spazio euclideo è uno spazio in cui valgono i postulati e gli assiomi della geometria euclidea. Il prodotto vettoriale è indicato con il simbolo X oppure Ʌ.
Come calcolare il prodotto scalare tra due vettori
Vediamo come calcolare il prodotto scalare tra due vettori e precisiamo meglio in cosa consiste. Si definisce prodotto scalare a · b tra due vettori a e b il numero che si ottiene moltiplicando il modulo del primo per l’intensità per l’intensità del vettore componente del secondo lungo il primo.
Sia Rn uno spazio vettoriale che ha una dimensione n sul campo R. Il prodotto scalare tra due vettori di Rn è un’operazione che si indica con il simbolo · ed è definita con la seguente formula:
- : R x Rn – R
(x, y) – x · y
Si associa quindi alla coppia di vettori x e y un numero reale definito in questo modo:
x · y = x1y1 + x2y2 + … + xn yn
Alcune volte il prodotto scalare viene definito anche così:
x · y = xt y
Il prodotto scalare gode delle proprietà: commutatività, omogeneità, proprietà distributiva. Inoltre è nullo solo se i due vettori sono perpendicolari. Non gode della proprietà associativa. La commutatività si esprime nel seguente modo:
x · y = y · x
L’omogeneità è così espressa:
(λx) · y = λ (x ·y)
x · (λy) = λ (x ·y)
Vediamo invece la proprietà distributiva
(x + y) · w = x · w + y · w
x · (y + w) = x · y + x · w
Esercizi online sul prodotto scalare
Per allenarsi a calcolare il prodotto scalare ci sono diversi esercizi che si possono svolgere online. Su Youmath.it vi è un tool per calcolarlo tra due vettori qualsiasi da considerare come uno strumento di verifica. Inoltre è possibile consultare una lezione dedicata al prodotto vettoriale, per studiarlo e impararlo bene. All’interno del sito vi è anche un forum dove confrontarsi sullo svolgimento degli esercizi con altri utenti.
Sul sito dell’Università di Milano si può consultare una dispensa in slides per comprendere meglio le funzioni e il calcolo del prodotto scalare tra due vettori. Anche l’Università di Trento mette a disposizione una batteria di esercizi comprensiva di soluzioni.
Sul sito Matepratica.it, dove ci si può allenare con esercizi svolti di matematica e fisica, troviamo la definizione di calcolo vettoriale, delle dispense con formulario, e degli esercizi svolti.
Anche il sito della Zanichelli dedicato alla scuola propone una dispensa abbastanza dettagliata con definizioni, esercizi e un problema svolto.
Chiaramente si tratti di siti che costituiscono un supporto da considerarsi successivo a uno studio attento e approfondito dell’argomento. Questi esercizi e consigli sono strumenti per imparare più velocemente l’argomento e acquisire una maggiore padronanza.
La matematica è una materia che richiede attento apprendimento e soprattutto esercitazione e oggi gli strumenti offerti dal web sono molto utili in tal senso. A questo proposito il sito Youmath.it sembra essere uno dei più completi e che meglio permettono di imparare a svolgere gli esercizi.
Anche altre Università come quella di Firenze e di Venezia permetto di studiare la parte teorica ed esercitarsi con delle dispense messe a disposizione sui loro siti.
Sul sito Oilproject, specializzato anche sulle materie umanistiche, troviamo un approfondimento dell’argomento in questione.
Si avvicina la maturità e molti studenti si stanno affaticando sui libri e un aiuto in più è senza dubbio rappresentato da questi portali che mettono a disposizione dispense ed esercizi. Ma non solo gli studenti delle superiori in questo momento sono alle prese con uno studio serrato, ma anche gli universitari che si preparano per la sessione estiva prima di andare finalmente in vacanza.
Non resta quindi che studiare per poi finalmente ricaricarsi in estate, prima di ritornare ai propri impegni a settembre.
